Características del triángulo isósceles, fórmulas y área, cálculos.

A triángulo isósceles Este es un polígono de tres lados, donde dos de ellos tienen el mismo tamaño y el tercer lado es de diferente tamaño. Este último lado se llama base. Porque estas características llevan este nombre, que en griego significa “mismo pie”

Los triángulos son polígonos considerados los más simples en geometría, ya que están formados por tres lados, tres ángulos y tres vértices. Estos son los que menos aristas y ángulos tienen en comparación con otros polígonos, pero su uso es muy amplio.Caracteristicas del triangulo isosceles formulas y area calculos

Pista

  • 1 Características del triángulo isósceles
  • 2 Propiedades
    • 2.1 Ángulo interno
    • 2.2 Número de lados
    • 2.3 Lado congruente
    • 2.4 Ángulos congruentes
    • 2.5 Altura, mediana, bisectriz y bisectriz son coincidencias
    • 2.6 Altura relativa
    • 2.7 Ortocentro, baricentro, incentro y circuncentro coinciden
  • 3 ¿Cómo calcular el perímetro?
  • 4 ¿Cómo calcular la altura?
  • 5 ¿Cómo calcular el área?
  • 6 ¿Cómo calcular la base de un triángulo?
  • 7 ejercicios
    • 7.1 Primer ejercicio
    • 7.2 El segundo ejercicio
    • 7.3 Tercer ejercicio
  • 8 referencias

Características del triángulo isósceles

Los triángulos isósceles se clasifican usando el tamaño de sus lados como parámetros, porque ambos lados son congruentes (tienen la misma longitud).

Según la magnitud del ángulo interno, los triángulos isósceles se clasifican en:

  • Rectángulo de triángulo isósceles : ambos lados son idénticos. Uno de los ángulos es recto (90 o ) y el otro es el mismo (45 o cada)
  • Ángulo triangular obtuso isósceles : ambos lados son idénticos. Una esquina es aburrida (> 90 o ).
  • Codos triangulares isósceles agudos : ambos lados son iguales. Todos los ángulos son agudos (<90 o ), donde dos son del mismo tamaño.

Componiendo

  • Mediana : es una línea que comienza en el medio de un lado y llega al punto opuesto. Tres medianas coinciden en un punto llamado centroide o centroide.
  • obispo : es un radio que divide los ángulos de cada ángulo en dos ángulos del mismo tamaño. Por eso se le llama eje de simetría y este tipo de triángulo solo tiene uno.
  • Mediador : es un segmento perpendicular al lado del triángulo, que comienza desde este centro. Hay tres mediaciones en el triángulo y coinciden en un punto llamado circuncentro.
  • Altura : es la línea que va del punto al lado opuesto y además esta línea es perpendicular a este lado. Todos los triángulos tienen tres alturas que coinciden en un punto llamado ortocentro.

Bienes

Los triángulos isósceles se definen o identifican porque tienen varias propiedades que los representan, derivados de teoremas propuestos por los grandes matemáticos:

Ángulo interno

El número de ángulos internos siempre es igual a 180 o .

Numero de lados

El número de pasos en ambos lados siempre debe ser mayor que el tamaño del tercer lado, a + b> c.

Lado congruente

El triángulo isósceles tiene dos lados del mismo tamaño o longitud; es decir, son congruentes y los tercios son diferentes.

Ángulo congruente

El triángulo isósceles también se conoce como triángulo isoangular porque tienen dos ángulos que son del mismo tamaño (congruentes). Este se encuentra en la base del triángulo, opuesto al lado que tiene la misma longitud.

Por tanto, el teorema que establece que:

“Si un triángulo tiene dos lados que son congruentes, el ángulo opuesto a ese lado también será congruente”. Por lo tanto, si un triángulo isósceles, el ángulo de su base es congruente.

Ejemplo:

La siguiente imagen muestra triángulos ABC. Al dibujar la bisectriz del ángulo del ángulo B en la base, el triángulo se divide en dos triángulos iguales a BDA y BDC:1628261338 904 Caracteristicas del triangulo isosceles formulas y area calculos

Por tanto, el ángulo del nodo B también se divide en dos ángulos iguales. La bisectriz es ahora el lado común (BD) entre los dos nuevos triángulos, mientras que los lados AB y BC son congruentes. Entonces tienes casos de congruencia, ángulos, lados (LAL).

Esto muestra que los ángulos de los ángulos A y C son del mismo tamaño, porque también se puede demostrar que debido a que los triángulos BDA y BDC son congruentes, los lados AD y DC también son congruentes.

Altura, mediana, bisectriz y bisectriz son coincidencias

La línea trazada desde el punto opuesto a la base hasta el centro de la base del triángulo isósceles, al mismo tiempo la altura, mediana y bisectriz y bisectriz con respecto al ángulo opuesto a la base.

Todos estos segmentos coinciden con el que los representa.

Ejemplo:

La siguiente figura muestra un triángulo ABC con un punto medio M que divide la base en dos segmentos BM y CM.1628261338 402 Caracteristicas del triangulo isosceles formulas y area calculos

Cuando dibuja un segmento desde el punto M al punto opuesto, por definición obtiene la mediana AM, que es relativa al punto A y al lado BC.

Debido a que el segmento AM divide el triángulo ABC en dos triángulos iguales AMB y AMC, significa que se tomará el caso de lados, ángulos y congruencia de lados y, por lo tanto, AM también será una variedad BÂC.

Por eso el obispo siempre será el mismo que el mediano y viceversa.

El segmento AM forma un ángulo que tiene el mismo tamaño que los triángulos AMB y AMC; es decir, se complementan entre sí para que cada talla:

Med (AMB) + Med. (AMC) = 180 o

2 * Medicina. (AMC) = 180 o

Promedio (AMC) = 180 o 2

Promedio (AMC) = 90 o

Vemos que el ángulo formado por el segmento AM está ligado a la base de un triángulo rectángulo, lo que indica que este segmento sí es perpendicular a la base.

Por lo tanto, representa la altura y la bisectriz, sabiendo que M es el punto medio.

Entonces las líneas AM:

  • Representa la altura de BC.
  • El es.
  • Está contenido en la bisectriz perpendicular BC.
  • Esta es la línea del ángulo en la parte superior.

Altura relativa

La altura, que es relativa al mismo lado, también es del mismo tamaño.

Debido a que el triángulo isósceles tiene dos lados iguales, las dos alturas también serán iguales.

Ortocentro, baricentro, incentro y circuncentro juntos

Debido a que la altura, la mediana, la bisectriz y las líneas con respecto a la base están representadas al mismo tiempo por el mismo segmento, el ortocentro, la distancia al centro y la circunferencia serán puntos colineales, es decir, digamos que serán a la misma derecha:

1628261339 202 Caracteristicas del triangulo isosceles formulas y area calculos

¿Cómo calcular el perímetro?

El perímetro del polígono se calcula por el número de lados.

Como en este caso el triángulo isósceles tiene dos lados del mismo tamaño, el perímetro se calcula mediante la siguiente fórmula:

P = 2 * (lado a) + (lado b).

¿Cómo calcular la altura?

Su altura es una línea perpendicular a su base, que divide el triángulo en dos partes iguales que se extienden hasta el punto opuesto.

La altura representa la pierna opuesta (a), la mitad de la base (b / 2) al pie adyacente y el lado “a” representa el lado inclinado.

1628261339 412 Caracteristicas del triangulo isosceles formulas y area calculos

Usando el teorema de Pitágoras, puede determinar el valor de la altura:

a 2 + B 2 = vs 2

O:

a 2 = altura (h).

B 2 = b / 2.

vs 2 = lado a.

Reemplaza estos valores en el Teorema de Pitágoras y limpia la altura que tenemos:

h 2 + ( B / 2) 2 = a 2

h 2 + B 2/4 = a 2

h 2 = a 2B 2 / 4

h = ( a 2B 2/4 ).

Si se conoce el ángulo formado por el lado congruente, la altura puede ser calculado por la siguiente fórmula:

1628261339 459 Caracteristicas del triangulo isosceles formulas y area calculos

¿Cómo calcular el área?

El área de un triángulo siempre se calcula con la misma fórmula, multiplicando la base por la altura y dividiendo por dos:

1628261339 95 Caracteristicas del triangulo isosceles formulas y area calculos

Hay casos en los que solo se conoce la medida de los dos lados de un triángulo y el ángulo que se forma entre ellos. En este caso, para determinar el área, es necesario aplicar razones trigonométricas:1628261339 685 Caracteristicas del triangulo isosceles formulas y area calculos

¿Cómo calcular la base de un triángulo?

Debido a que el triángulo isósceles tiene los mismos dos lados, para determinar el valor de la base se debe conocer al menos la altura o uno de sus ángulos.

Conoce la altura del teorema de Pitágoras utilizado:

a 2 + b 2 = c 2

O:

a 2 = altura (h).

vs 2 = lado a.

B 2 = b / 2, desconocido.

Limpiamos b 2 fórmulas y tenemos que:

B 2 = a 2 – vs 2

b = √ a 2 – vs 2

Debido a que este valor es la mitad de la base, debe multiplicarse por dos para obtener el tamaño completo de la base del triángulo isósceles:

b = 2 * (√ a 2 – vs 2 )

En el caso de que solo se conozcan los mismos valores laterales y los mismos ángulos intermedios, se aplica la trigonometría, trazando una línea desde el punto hasta la base que divide el triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos.

Por lo tanto, la mitad de la base se calcula mediante:

1628261339 922 Caracteristicas del triangulo isosceles formulas y area calculos

También es posible que solo se conozcan los valores de altura y ángulo de los puntos opuestos a la base. En este caso, se puede determinar la trigonometría básica:1628261339 656 Caracteristicas del triangulo isosceles formulas y area calculos

práctica

Primer ejercicio

Calcula el área del triángulo isósceles ABC, sabiendo que los dos lados miden 10 cm y el tercer lado mide 12 cm.

1628261339 56 Caracteristicas del triangulo isosceles formulas y area calculos

La solución

Para encontrar el área de un triángulo es necesario calcular la altura usando la fórmula del área vinculada al teorema de Pitágoras, porque se desconoce el valor del ángulo formado entre el mismo lado.

Tenemos los siguientes datos del triángulo isósceles:

  • El mismo lado (a) = 10 cm.
  • Base (b) = 12 cm.

Valor en la fórmula reemplazada:

1628261339 79 Caracteristicas del triangulo isosceles formulas y area calculos

Segundo ejercicio

Las longitudes de los dos lados iguales del triángulo isósceles son 42 cm, la unión de estos lados forma un ángulo de 130 o . Determina el valor del tercer lado, el área del triángulo y la circunferencia.1628261339 123 Caracteristicas del triangulo isosceles formulas y area calculos

La solución

En este caso, se conocen las medidas de los lados y los ángulos entre los dos.

Para encontrar el valor del lado faltante, que es la base del triángulo, se traza una línea perpendicular a él, dividiendo el ángulo en dos partes iguales, una por cada triángulo rectángulo formado.

  • El mismo lado (a) = 42 cm.
  • Ángulo (Ɵ) = 130 o

Ahora, con la trigonometría, se calcula el valor de la mitad de la base, que es la mitad de la hipotenusa:

1628261339 270 Caracteristicas del triangulo isosceles formulas y area calculos

Para calcular el área, necesitamos saber la altura del triángulo que se puede calcular con trigonometría o con el teorema de Pitágoras, ahora se ha determinado el valor base.

Con la trigonometría se convertirá en:1628261339 372 Caracteristicas del triangulo isosceles formulas y area calculos

Alcance calculado:

P = 2 * (lado a) + (lado b).

P = 2 * (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Tercer ejercicio

Calcula el ángulo interno de un triángulo isósceles, sabiendo que el ángulo en la base es = 55 o1628261339 994 Caracteristicas del triangulo isosceles formulas y area calculos

La solución

Para encontrar los dos ángulos que faltan (Ê y Ô), debemos recordar dos propiedades del triángulo:

  • El número de ángulos internos para cada triángulo siempre será = 180 o :

 + Ê + = 180 o

  • En un triángulo isósceles, los ángulos en la base son siempre congruentes, es decir, tienen el mismo tamaño, por lo tanto:

 =

Ê = 55 o

Para determinar el valor del ángulo Ê, reemplace el valor de otro ángulo en la primera regla y elimine Ê:

55 o + 55 o + = 180 o

110 o + = 180 o

= 180 o – 110 o

= 70 o .

Referencia

  1. Álvarez, E. (2003). Elementos de geometría: con mucha práctica y geometría de brújula. Universidad de Medellín.
  2. Vlvaro Rendón, AR (2004). Dibujo técnico: cuaderno de actividades.
  3. Ángel, AR (2007). Educación básica en álgebra de Pearson.
  4. Arthur Goodman, LH (1996). Álgebra y trigonometría con geometría analítica. Educación Pearson.
  5. Baldor, A. (1941). Álgebra de La Habana: Cultura.
  6. José Jiménez, LJ (2006). Matemáticas 2.
  7. Tuma, J. (1998). Libro de texto de matemáticas del ingeniero. Wolfram MathWorld.

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