Polinomio característico – Notas leídas

Polinomio característico . Decimos del polinomio de grado NO resultante de la ecuación | A-xI NO | o A es la matriz cuadrada asociada con el mapa lineal T del mismo orden.

Las raíces reales del polinomio serán los valores propios de T .

Por tanto, los polinomios característicos son fundamentales para obtener los valores, subespacios y autovectores de un mapa lineal. También verifican la existencia de dichos valores lineales y la diagonalizabilidad de la matriz.

Resumen

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  • 1 Definición
  • 2 Propiedades
  • 3 ejemplos
  • 4 Importancia
  • 5 Véase también
  • 6 fuentes

Definición

Dejar estar una transformación lineal endomórfica o un mapeo de órdenes NO más de K NO es llamado el polinomio característico resultante de la expresión:

o A es la matriz cuadrada asociada con T , I NO es la matriz de identidad de la orden NO .

Aunque se conoce como Ecuación característica a la expresión del álgebra matricial (A-xI NO ) = 0 .

Propiedades

Sea un polinomio característico P (x) aplicación lineal T para K NO , para ello se comprueban las siguientes propiedades:

  1. Los valores propios de Tson raíces de P (x) = 0 .
  2. Me caigo NOraíces de P (x) pertenecer K entonces estos son los valores propios de T y es diagonalizable.
  3. Dos matrices similares tienen el mismo polinomio característico.

Ejemplos de

Deja la matriz Un ser en el conjunto de reales:

asociado con la aplicación lineal T: R 3 -> R 3 ; obtener los valores de A .

1er . Proponemos | A-kI | = 0 para obtener el polinomio característico:

que se reduce a:

  • -k 3+ 6k 2 + 2k-12 = 0 (polinomio característico de A )

2do . Se determinan las raíces del polinomio:

  • -k 3+ 2k + 6k 2 -12 = 0
  • = -k (k 2-2) +6 (k 2 -2)
  • (6-k) (k 2-2) = 0

siendo 6 y que son valores propios de A porque todos son reales.

En el caso de la matriz METRO 2 (D) :

Para determinar si tiene valores propios, primero se busca el polinomio característico mediante:

Restante:

Esto, como sabemos, no tiene una solución real.

Por otro lado, si METRO se definieron en números complejos; las soluciones I y -I serán los valores propios de METRO 2 (D) .

Importancia

Los valores y autovectores son esenciales para la diagonalización de matrices cuadradas, proceso que se realiza resolviendo el polinomio característico de la matriz cuadrada asociado con la transformación lineal en cuestión, usualmente usando el teorema de Cayley-Hamilton. Para matrices mayores de orden 3, obtendremos polinomios que no tendrán un método de factorización general.

En todos los casos, el polinomio característico permite vincular la búsqueda de los autovalores de un mapa lineal a la resolución de un polinomio de una variable de grado igual al orden del mapa, con las desventajas y ventajas de esa parte. de álgebra.

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