Productos notables. Con frecuencia, las multiplicaciones se presentan en álgebra cuyos productos cumplen reglas fijas. Estos productos se denominan productos notables.

resumen

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  • 1 Cuadrado de la suma de dos términos
  • 2 Diferencia al cuadrado de dos términos
  • 3 Suma por la diferencia de dos términos
  • 4 Descomposición factorial. Extracción de factores comunes
  • 5 Factor común
  • 6 Descomposición factorial de binomios
  • 7 Descomposición factorial de trinomios
  • 8 Trinomio de la forma x2 + px + q
  • 9 Trinomio de la forma mx2 + px + q, m 1
  • 10 fuentes

Cuadrado de la suma de dos términos

Al cuadrado a + b es equivalente a multiplicar este binomio por sí mismo, entonces resulta: (a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 O ya sea: (a + b) 2 = a2 + 2ab + b2 Es decir, el cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer término, más el doble del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término .

Cuadrado de la diferencia de dos términos

(ab) 2 = (ab) (ab) = a2-ab-ab + b2 = a2-2ab + b2 En otras palabras: (ab) 2 = a2-2ab + b2 Entonces tenemos el cuadrado de una diferencia igual al el cuadrado del primer término, menos el doble del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo. Estos productos notables difieren solo en su signo, por lo que podemos resumirlos de la siguiente manera (a ± b) 2 = a2 ± 2ab + b2

Suma por la diferencia de dos términos

(a + b) (ab) = a2-ab + ab-b2 = a2-b2 Entonces (a + b) (ab) = a2-b2 Entonces el producto de la suma de la diferencia de dos términos es igual a diferencia de sus cuadrados . Producto de dos binomios que tienen un término común. (x + a) (x + b) = x2 + bx + ax + ab = x2 + (a + b) x + ab bx + ax = (a + b) x Entonces (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab Entonces, el producto de dos binomios que tienen un término común es igual al cuadrado del término común, más la suma algebraica de los términos no comunes por el término común, más el producto de la términos inusuales. común.

Descomposición factorial. Extracción de factores comunes

Si se multiplican dos expresiones algebraicas A y B y su producto es C, cada una de las expresiones A y B se llama factor o divisor de C. Ejemplo, como a (a + b) = a2 + ab, decimos que ay a + b son factores o divisores de a2 + ab. Asimismo (x + 2) (x -2) = x2 -4, entonces x + 2 y x-2 son factores o divisores de x2 -4. A menudo es conveniente determinar los factores de una expresión algebraica C dada. La operación de encontrar estos factores (cuando existen) se llama factorización o descomposición factorial de la expresión C.

Factor común

Para factorizar la expresión ma + mb, aplicar la propiedad distributiva: ma + mb = m (a + b) donde m es el factor común de la expresión ma + mb, ya que este factor aparece en cada uno de los términos de la expresión dada. En general, si en una expresión algebraica dada hay un factor que es común a todos sus términos, se puede descomponer en el producto de este factor común por el polinomio que resulta de la división de cada uno de los términos de la expresión dada por este factor común. .

Descomposición factorial de binomios

La suma de dos términos multiplicados por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados: (a + b) (ab) = a2-b2 Usando este notable producto, se puede obtener un procedimiento para factorizar una diferencia de dos cuadrados La diferencia de dos cuadrados se descomponen en el producto de la suma por la diferencia de las bases de sus cuadrados En símbolos: a2-b2 = (a + b) (ab)

Descomposición factorial de trinomios

Trinomio cuadrado perfecto. Cualquier trinomio que sea un cuadrado perfecto se puede convertir en un cuadrado binomial. Un trinomio es un cuadrado perfecto si: • Dos de sus términos son cuadrados perfectos, y • El término restante es igual al producto doble de las raíces cuadradas de estos términos, o el inverso de este producto.

El trinomio se descompone en el cuadrado de la suma o la diferencia de las raíces cuadradas de los términos cuadrados perfectos, dependiendo de si el signo del término restante es positivo o negativo. a2 ± 2ab + b2 = (a ± b) 2

Trinomio de la forma x2 + px + q

Un trinomio de la forma x2 + px + q se puede descomponer en el producto de dos factores (x + a) y (x + b) siempre que podamos encontrar dos números ayb cuya suma algebraica sea py cuyo producto sea q, y luego tenemos: x2 + px + q = (x + a) (x + b), donde a + b = py ab = q.

Trinomio de la forma mx2 + px + q, m 1

En general, (ax + b) (cx + d) = acx2 + (ad + bc) x + bd = m x2 + px + q Donde m = ac, q = bd yp = ad + bc. Por lo tanto, siempre que sea posible determinar los números a, b, cyd, como: ac = m, bd = q y ad = bc = p es verdadero m x2 + px + q = (ax + b) (cx + d ) Los trinomios de la forma mx2 + px + q, (m ≠ 1) también se pueden factorizar reduciéndolos a la forma x2 + px + q. Para ello se utiliza el siguiente procedimiento: Se multiplica el trinomio dado y se divide por m, con lo cual se obtiene: m x2 + px + q = (mx) 2 + p (mx) + mq m Así, el numerador se reduce a la forma x2 + px + q y considerando mx como una sola variable, este numerador se descompone en un producto de la forma (mx + a) (mx + b) siempre que sea posible encontrar dos números que se multiplican dan mq y que suman juntos dan p.

Por F. Tips

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